In het Europa van de oudheid en de middeleeuwen had je onderwijs in de zeven vrije kunsten, bekend onder de Latijnse naam: septem artes liberales. Deze werden onderverdeeld in twee categorieën: Trivium (3 taalvakken, zie noten) en Quadrivium (4 rekenvakken). Muziek (musica) hoorde in die tijd bij de rekenvakken, naast wat we nu de exacte vakken noemen: rekenkunde (aritmetica), meetkunde (geometrica), kosmologie (astronomia).

In onze tijd plaatsen wij het vak ‘muziek’ in de categorie ‘Kunst en Cultuur’. Tegelijkertijd is dankzij mensen als Erik Scherder en Henkjan Honing algemeen bekend geworden dat uit talloze onderzoeken blijkt dat muziekonderwijs bijdraagt aan de ontwikkeling van het cognitieve vermogen, wat ook nodig is voor ontwikkeling van taal- en rekenvaardigheid. Hoe we deze wetenschap naar onze hand kunnen zetten, is nog onderwerp van onderzoek. Daarover ging bijvoorbeeld een artikel in Kunstzone, tijdschrift voor kunst en cultuur in het onderwijs (Brinkman, Bosman, en Bisschop Boele, 2019). Het artikel bespreekt een project waarin bibliotheek DOK Delft in samenwerking met kunstenaar Wolf Brinkman en drie basisscholen onderzoekt hoe muziek kan bijdragen aan het leerproces van taal en rekenen.

Ik wil graag weten hoe muzikale en rekenactiviteiten voor een wisselwerking kunnen zorgen tijdens muzikale spelvormen met het jonge kind in de leeftijd tot vier jaar, om zo een kader te bieden voor de hiernavolgende lesideeën in ‘Tel en tik met Egeltje Prik’.

Patronen, ritme en symbolentaal

Volgens de auteurs van het eerdergenoemde Kunstzone-artikel zijn de vakken muziek, taal en rekenen opgebouwd uit dezelfde bouwstenen: patronen, ritme en symbolentaal. Kinderen ontdekken dit zelf door onderzoekend leren. In de muziek is sprake van een klanktaal: tonen die hoog, laag, lang of kort zijn. Deze krijgen in samenhang betekenis en zeggingskracht, net zoals dat in een taal gebeurt.

Misschien zijn er, naast patronen, ritme en symbolentaal, nog wel meer bouwstenen die muziek en rekenen met elkaar delen. Dat kan interessant zijn voor het bedenken van muzikale spelvormen waarbij kruisbestuiving met rekenen plaatsvindt. In het hiernavolgende ga ik in op de bouwstenen van rekenen en wiskunde enerzijds en die van muziek anderzijds. Daarna leg ik ze naast elkaar

De bouwstenen van rekenen en wiskunde

Voor dit artikel sprak ik met Bart van de Rotten, wiskundige, in 2003 gepromoveerd aan de Universiteit Leiden. Hij heeft jaren als wiskundedocent voor de klas gestaan op de middelbare school en is momenteel docent aan de Hogeschool van Amsterdam. Op mijn vraag wat nu het verschil is tussen rekenen en wiskunde vertelt hij dat de vakken deels overlappen: rekenen is een onderdeel van wiskunde. Hij legt uit dat rekenen het manipuleren van getallen is: optellen, aftrekken, delen. Wiskunde is breder, er zijn verschillende disciplines zoals modelleren, construeren, structuren herkennen, ordenen. Die laatste heb je ook bij rekenen.

Je moet kunnen rekenen om wiskundige handelingen te kunnen uitvoeren en om wiskundige structuren te kunnen herkennen. Als je bijvoorbeeld niet thuis bent in breukensommen, zul je moeite hebben met wiskunde, want breuken bij elkaar optellen, van elkaar aftrekken en vergelijken, zijn algoritmische handelingen. Als je dat wel onder de knie hebt, kun je je bepaalde wiskundige structuren eigen maken en de stap zetten naar rekenen in formules.

Wiskunde is gebaseerd op 1+1 is gelijk aan 2. Die basis is zo afgesproken. De bouwstenen van de wiskunde bestaan uit axioma’s [een niet bewezen maar als grondslag aanvaarde bewering], definities en stellingen. Deze vormen het raamwerk waarop verder wordt gebouwd. Aan tellen komt nooit een einde. In de wiskunde wordt een nieuwe wereld geschapen waarin je kunt spelen met deze oneindigheid.

Op mijn vraag hoe natuurkunde zich tot bovenstaande verhoudt, antwoordt Bart van de Rotten: “Natuurkunde gaat in dit verband over trillingen en frequentie (geluidsgolven) en heeft, net als muziek, eeuwenlang naast wiskunde gelegen.

Wiskunde wordt toegepast om de wereld te begrijpen. Natuurkunde is het vangen van de wereld in wiskundige termen. In de natuurkunde gaat het zo: je neemt iets waar. Dat probeer je te vangen in een wetmatigheid. Die vertaal je naar een wiskundige vergelijking. Daarmee probeer je over de werkelijkheid iets te vertellen en op te lossen. Dit is een circulair proces, want de oplossing vergelijk je met wat je waarneemt, aan de hand waarvan je je model weer aanpast. Dit noem je modelleren.”

De bouwstenen van muziek

De vier bouwstenen van muziek zijn: toonhoogte, toonduur, toonsterkte en toonkleur.
- toonhoogte kan worden onderverdeeld in melodie, samenklank en toonsoort
- toonduur gaat over ritme, maat en tempo
- toonsterkte gaat over de dynamiek: hoe luid of hoe zacht klinkt de muziek
- toonkleur, ook wel klankkleur genoemd, gaat over timbre. Instrumenten en zangstemmen hebben ieder hun eigen timbre. Zo klinkt een hobo heel anders dan een klarinet.
Naast deze bouwstenen heb je ook nog vorm en betekenis. Ik noem bewust geen klank, want daar schaar ik de vier eerstgenoemde bouwstenen onder.

Hoe kunnen we deze muzikale parameters verbinden aan de bouwstenen van rekenen en wiskunde?

Muziektheorie gaat over getallen

Laten we het eerst hebben over de bouwsteen toonhoogte. Pythagoras heeft als een van de vroegste exacte wetenschappers inzicht verschaft in de wiskundige wetmatigheden van ons tonenstelsel. Hij ontdekte dat de natuurlijke intervallen octaaf, kwint en kwart overeenkomen met eenvoudige verhoudingen van de betreffende trillingen (pythagoraskwartet.nl). Hij gebruikte daarbij onder andere een monochord, een eensnarig muziekinstrument. Met een beweegbare kam onder de snaar kon hij deze in verschillende verhoudingen verdelen. Stond de kam precies in het midden, dan klonk deze bij het aanslaan een octaaf hoger dan bij het aanslaan van de hele snaar. De frequentie is dan twee keer zo hoog. De verhouding voor het octaaf is 1:2. Voor de stijgende kwint is dat 2:3 en voor de stijgende kwart 3:4. Pythagoras concludeerde dat iedere toon is opgebouwd uit pure sinusgolven en dat muziektheorie over de verhouding van getallen gaat.

De bouwsteen toonduur gaat over ritme, maat en tempo. Bij ritme gaat het over hoelang een noot duurt: de notenwaarde zegt iets over zijn relatieve lengte, over lang en kort. Een maatsoort geeft een geheel aan, namelijk: één maat. De ‘noemer’ geeft de teleenheid aan, de teller hoeveel eenheden er in een maat gaan; het notatiesysteem geeft daarmee verhoudingen aan, een bouwsteen uit de rekenkunde en de wiskunde. Het tempo zegt iets over de snelheid van een muziekstuk: hoelang duurt een maat.

De derde muzikale parameter, toonsterkte, zegt iets over luid en zacht. In de vijfde en de zesde klas van het VWO krijgen leerlingen theorie over de decibelschaal: de logaritmische schaal voor de sterkte van het geluid. 10 decibel (= 1 Bel) hoger op de schaal betekent dat de intensiteit tien keer zo groot is geworden (natuurkunde.nl).

Tot slot de muzikale parameter klankkleur. In de klank van muziekinstrumenten spelen boventonen een belangrijke rol, dit zijn alle tonen die meeklinken boven de grondtoon. De grondtoon is de toon die je speelt, deze is het best te horen, daarnaast klinken boventonen mee. Door resonanties in het instrument kunnen de boventonen meer of minder versterkt worden. Welke dit zijn, hangt af van de aard van het instrument. Zo onderscheidt een muziekinstrument zich van een andere in timbre (zie preludium.nl/boventonen).

Rekenprikkels

We kunnen concluderen dat rekenen, wiskunde en muziek veel gemeenschappelijke bouwstenen hebben. Wat mij betreft vertalen we dat naar de belevingswereld van kinderen tot vier jaar. Hoe kunnen we deze gemeenschappelijke bouwstenen inzetten bij de groeimogelijkheden van het jonge kind in de leeftijd tot vier jaar?

Goede voorbeelden daarvan staan in de lesmethode van Uk & Puk, ontwikkeld voor kindercentra met kinderen van 0 tot 4 jaar. De daarin besproken activiteiten stimuleren het actief spelen en ontdekken, waardoor baby’s, dreumesen en peuters op een natuurlijke wijze nieuwe vaardigheden opdoen en zich breed ontwikkelen. Ukken groeien zo als vanzelf toe naar groep 1.

De lesmethode bestaat uit thema’s, zoals ‘Eet smakelijk!’ ‘Hatsjoe!’ en ‘Ik en mijn familie’. ‘Rekenprikkels’ is een van de vier ontwikkelingsgebieden waaraan aandacht wordt besteed binnen die thema’s; de doelen zijn daarbij onderverdeeld naar leeftijd. Een voorbeeld (zie Uk en Puk Activiteitenboek, bladzijde 7 ‘Eet smakelijk!’):
- 0 tot 1,5 jaar: De baby ervaart dat je dingen ergens in kunt doen en dat je dingen ergens uit kunt halen.
- 1,5 tot 2,5 jaar: Het kind kent de begrippen in en uit, vol en leeg, veel en weinig. Het kind heeft besef van groter worden, groeien.
- 2,5 tot 4 jaar: Hetzelfde als hierboven, plus: het kind kan hoeveelheden onder de 5 benoemen. Het kind kan evenveel borden neerzetten als er kinderen aanwezig zijn.

Je kunt peuters dus van alles aanbieden als rekenprikkel, zoals Angela BlomBuskermolen, pedagogisch medewerker op een kinderdagverblijf, vertelt: “Bij peuters gaat het bij rekenprikkels om het aanbieden van onder andere kleuren, het zien dat het dezelfde kleur is, of vorm.”

Muzikale doelen kunnen ook rekendoelen zijn
 

Telervaringen en rekenkundige vaardigheden als structureren in tijd en ruimte, ordenen en construeren, zijn dagelijkse kost voor een peuter.

Educatief auteur en eigenaar van Peuteractiviteitenweb Yvonne Lohman verwoordt dat mooi op haar website: ‘Onbewust zijn kinderen de hele dag bezig met rekenprikkels. Denk maar eens aan de dagindeling: eerst plassen, dan handen wassen, eerst schoenen aan, dan naar buiten. Spelenderwijs ontdekken ze de wereld om zich heen en bouwen ze tegelijkertijd hun eigen wereld. Ze leren analyseren, tellen, ordenen, combineren, construeren en structureren. In onze thema’s maken we gebruik van activiteiten die de rekenprikkels van de kinderen stimuleren.’

Lohman noemt bijvoorbeeld blokken stapelen, sorteren op kleur, lengte, grootte of andere overeenkomsten, koken en bakken met recepten (volgorde), of liedjes zingen met gebaren waarbij je ‘groot’ of ‘klein’ uitbeeldt.

Muzikale activiteiten met rekenprikkels

Volgens de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO), die zich bezighoudt met de ontwikkeling van het curriculum in het primair en voortgezet onderwijs, zijn kinderen vanaf groep 1 bezig met wiskundig inzicht en handelen. Uit het voorgaande blijkt dat dit ook al geldt voor jongere kinderen tot de basisschoolleeftijd van 4 jaar. Als muziekdocenten zetten wij de gemeenschappelijke bouwstenen van rekenen en muziek al in voor de groeimogelijkheden van het jonge kind in de leeftijd tot vier jaar. Dit gaat misschien onbewust, want muzikale doelen kunnen ook rekendoelen zijn. Het kind is immers bezig met het herkennen van structuren en patronen bij het onderscheiden van klank(kleuren), op tijd (vocaal) reageren, uitvoeren van de opeenvolging van bewegingen (volgorde), of het ervaren, bewust worden en toepassen van veel en weinig bij het volgen van een grafische partituur.

In het navolgende ‘Tel en tik met Egeltje Prik’ staan ideeën beschreven voor muzikale activiteiten waarbij je de bouwstenen van rekenen en wiskunde bewust kunt inzetten bij de muziekactiviteiten.

Literatuur Brinkman, W., Bosman, M. en Bisschop Boele, E. (2019): Muziek is taal en rekenen. Kunstzone januari 2019-1. P.52-53. URL’s van geraadpleegde websites: gehrelsmuziekeducatie.nl